近日，北京邮电大学数学科学学院预聘助理教授魏菲与合作者Theodoros Assiotis(爱丁堡大学副教授)，Mustafa Alper Gunes(普林斯顿大学博士)，Jonathan P. Keating（牛津大学教授)在随机矩阵理论、数论与概率论交叉领域中取得重要研究进展，解决了Haar随机酉矩阵特征多项式高阶导数的联合矩收敛性问题。

该成果以“Exchangeable Arrays and Integrable Systems for Characteristic Polynomials of Random Matrices”为题，发表于国际顶尖数学期刊Communications on Pure and Applied Mathematics（CPAM）。魏菲为该论文的通讯作者，主要从事随机矩阵理论，解析数论和概率论方向的研究。此前曾在哈佛大学、清华大学及牛津大学等从事博士后研究工作。这也是北京邮电大学历史上首次在此期刊上发表论文。

CPAM由美国柯朗数学科学研究所于1948年创刊，发表纯粹数学与应用数学、数学物理等研究领域具有突破性的一流研究成果。该期刊以严格的审稿标准和重要的学术影响力著称，年发文量全球不足50篇，是国际公认的顶级数学期刊之一。

论文主要结果

服从Haar分布的随机酉矩阵特征多项式导数的联合矩问题，在过去二十五年来一直受到数学界的广泛研究。这主要是因为该问题与哈代和李特尔伍德在1916年提出的黎曼zeta函数在临界线上的积分矩问题密切相关。该论文彻底解决了这一联合矩在矩阵维数趋于无穷时的收敛问题。具体而言, 在适当归一化后, 对于任意阶导数以及任意正实数矩指数，作者们证明了联合矩的收敛性。此前已有研究仅能处理矩指数为正整数的特殊情形。

进一步地，该论文利用一类行列式点过程中的随机点的高阶幂次和刻画了上述极限。这类行列式点过程源于无穷维厄米矩阵空间上的华罗庚测度遍历分解问题的研究。此外，该论文首次建立了这些随机点高阶幂次和的联合矩与一类可积非线性二阶常微分方程—潘勒韦方程之间的系统联系。相关联合矩可表示为某个潘勒韦方程解的若干有限阶导数的线性组合。此前已有工作仅能处理一阶幂次和情形，而该工作建立了适用于任意阶幂次和情形的统一结构框架。

论文创新之处和学术意义

该论文的重要创新之一在于将高维交换性结构引入到随机矩阵特征多项式导数的联合矩问题研究中，然而这一结构此前从未被应用于相关问题的研究之中。在此基础上，作者们进一步利用概率论方法，成功解决了联合矩的收敛性问题。

另一方面，与一阶幂次和情形不同，论文中涉及的行列式点过程中任意高阶幂次和的联合矩不再具有Hankel或Toeplitz行列式结构。然而，研究潘勒韦方程的经典方法通常高度依赖这些类型的行列式结构，因此现有理论无法直接推广到高阶幂次和联合矩与可积系统之间联系的研究。为解决这一困难，作者们发展出一种新的系统性方法：将相关联合矩表示为某些Hankel行列式在列指标上经过整数分拆所确定的平移变换后得到的新行列式，并建立了这类新的结构性行列式与潘勒韦方程之间的联系。

该研究不仅解决了Haar随机酉矩阵特征多项式导数的联合矩研究中的若干难题，而且突破了此前只能利用潘勒韦方程研究相关行列式点过程上一阶幂次和的限制，为研究该类点过程任意阶幂和型统计量的联合矩提供了新的可计算方法。同时，该工作还给出了黎曼zeta函数在临界上任意阶导数的积分矩主项系数的精确随机矩阵理论刻画，并将其表示为相应随机点过程统计量的联合矩。

论文链接：

https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/cpa.70041